Questão 5. Avalie as integrais:
integral e^x cos ^7(e^x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
integral e^xcos^7l(e^xr),dx
Esse é um exercício de integração por substituição e uso de identidades trigonométricas para potências ímpares de cosseno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x, du = e^x,dx,
de modo que
integral e^xcos^7l(e^xr),dx = integral cos^7(u),du

Passo 3

Para integrar integralcos^7(u),du usamos a identidade
cos^7(u) = cos^6(u),cos(u) = l(1-sin^2(u)r)^3cos(u),
e em seguida a substituição
t = sin(u), dt = cos(u),du
Assim a integral vira
integral l(1-t^2r)^3,dt

Passo 4

Expandindo o binômio e integrando termo a termo:
(1-t^2)^3 = 1 - 3t^2 + 3t^4 - t^6,
integral (1 - 3t^2 + 3t^4 - t^6),dt = t - t^3 + 35,t^5 - 17,t^7 + C

Passo 5

Voltando às variáveis originais:
t = sin(u) e u = e^x,
obtemos a antiderivada
sinl(e^xr) - sin^3l(e^xr) + 35,sin^5l(e^xr) - 17,sin^7l(e^xr) + C

Resposta

sinl(e^xr) - sin^3l(e^xr) + 35,sin^5l(e^xr) - 17,sin^7l(e^xr) + C

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