Calcule as seguintes integrais.
integral0^8 integralraiz[3]y^2 yraiz16+x d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integraly=0^8integralx=raiz[3]y^2yraiz16+x,dx,dy
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração, e depois integrar em y para reduzir a um cálculo em função de x.

Passo 2

Vamos descrever a região
D=(x,y)mid 0<= y<= 8,;raiz[3]y<= x<= 2
A condição raiz[3]y<= x equivale a 0<= y<= x^3. Como x varia até 2 (pois raiz[3]8=2), temos em ordem dx,dy equivalente a
x de 0 até 2, y de 0 até x^3 éé

Passo 3

Trocando a ordem de integração, a integral fica
integralx=0^2integraly=0^x^3yraiz16+x,dy,dx
Agora integramos em y:
integraly=0^x^3y,dy =l[tfracy^22r]0^x^3 =x^62
Logo a integral torna-se
integral0^21raiz16+x;x^62,dx =12integral0^2x^6raiz16+x,dx

Passo 4

Chegamos ao integral simples em x:
12integral0^2x^6raiz16+x,dx
Para calcá-la em forma fechada, fazemos a substituição u=16+x, du=dx, x=u-16, e expandimos (u-16)^6 com o binômio de Newton, integrando termo a termo. O resultado pode ser escrito como
12 sumj=0^6 binom6j(-16)^6-j integral16^18u^,j-tfrac12du ;=; sumj=0^6 binom6j(-16)^6-j2j+1 l[18^,j+tfrac12-16^,j+tfrac12r]

Resposta

boxed integral0^8!!integralraiz[3]y^2yraiz16+x,dx,dy =12integral0^2x^6raiz16+x,dx =sumj=0^6 binom6j(-16)^6-j2j+1l(18^,j+tfrac12-16^,j+tfrac12r)

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