Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração, e depois integrar em
para reduzir a um cálculo em função de
.
Passo 2
Vamos descrever a região
A condição
equivale a
. Como
varia até
(pois
), temos em ordem
equivalente a
Passo 3
Trocando a ordem de integração, a integral fica
Agora integramos em
:
Logo a integral torna-se
Passo 4
Chegamos ao integral simples em
:
Para calcá-la em forma fechada, fazemos a substituição
,
,
, e expandimos
com o binômio de Newton, integrando termo a termo. O resultado pode ser escrito como