Faça um esboço do gráfico e indique se o limite existe para as seguintes funções (justifique sua resposta):
m(x)= x^2-2, & se x>1 -|x|, & se -1 <= x <= 1 x^2-2, & se x<-1
lim x -2 m(x) ; lim x -1 m(x) ; lim x 0 m(x) ; lim x 1 m(x) ; lim x 2 m(x)

Passo 1

O enunciado define a função por partes
m(x)= x^2-2, & x>1, -|x|, & -1<= x<= 1, x^2-2, & x<-1,
pede o esboço do gráfico e os limites limxto-2m(x), limxto-1m(x), limxto0m(x), limxto1m(x) e limxto2m(x). O conteúdo envolvido é análise de funções por partes, esboço qualitativo de gráfico e cálculo de limites laterais para verificar existência e valor.

Passo 2

Esboçamos qualitativamente o gráfico em três regiões:
  1. Para x<-1 e para x>1, temos a parábola y=x^2-2.
  2. No intervalo [-1,1], temos a forma de “V” invertido y=-|x|.
    Em x=-1 e x=1 os dois ramos se encontram em (-1,(-1)^2-2) =(-1,-1) e (1,-1) sem quebra, pois -|-1|=-1 e -|1|=-1. No meio, em x=0 a reta do “V” invertido atinge o vértice (0,0).

Passo 3

Analisamos limxto-2m(x). O ponto -2 está na região x<-1, onde m(x)=x^2-2 é contínua. Logo
limxto-2m(x) =limxto-2(x^2-2) =(-2)^2-2 =2

Passo 4

Analisamos limxto-1m(x). Aqui há troca de ramo:
  • Para xto-1^-, usa-se m(x)=x^2-2, logo
limxto-1^-m(x) =(-1)^2-2 =-1
  • Para xto-1^+, usa-se m(x)=-|x|, logo
limxto-1^+m(x) =-|-1| =-1
Como os dois limites laterais coincidem em -1, o limite existe e vale -1.

Passo 5

Analisamos limxto0m(x). O ponto 0 está no interior do ramo m(x)=-|x|, que é contínuo em todo [-1,1]. Portanto
limxto0m(x) =-|0| =0

Passo 6

Analisamos limxto1m(x). De novo troca de ramo:
  • Para xto1^-, m(x)=-|x|
limxto1^-m(x) =-|1| =-1
  • Para xto1^+, m(x)=x^2-2
limxto1^+m(x) =1^2-2 =-1
Os dois lados coincidem em -1, logo o limite existe e vale -1.

Passo 7

Analisamos limxto2m(x). O ponto 2 está na região x>1, com m(x)=x^2-2 contínua, logo
limxto2m(x) =2^2-2 =2

Resposta

limxto-2m(x)=2, limxto-1m(x)=-1, limxto0m(x)=0, limxto1m(x)=-1, limxto2m(x)=2

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