Faça um esboço do gráfico e indique se o limite existe para as seguintes funções (justifique sua resposta): lim x -2 m(x) ; lim x -1 m(x) ; lim x 0 m(x) ; lim x 1 m(x) ; lim x 2 m(x)
pede o esboço do gráfico e os limites limxto-2m(x), limxto-1m(x), limxto0m(x), limxto1m(x) e limxto2m(x). O conteúdo envolvido é análise de funções por partes, esboço qualitativo de gráfico e cálculo de limites laterais para verificar existência e valor.
Passo 2
Esboçamos qualitativamente o gráfico em três regiões:
Para x<-1 e para x>1, temos a parábola y=x^2-2.
No intervalo [-1,1], temos a forma de “V” invertido y=-|x|.
Em x=-1 e x=1 os dois ramos se encontram em (-1,(-1)^2-2) =(-1,-1) e (1,-1) sem quebra, pois -|-1|=-1 e -|1|=-1. No meio, em x=0 a reta do “V” invertido atinge o vértice (0,0).
Passo 3
Analisamos limxto-2m(x). O ponto -2 está na região x<-1, onde m(x)=x^2-2 é contínua. Logo
limxto-2m(x) =limxto-2(x^2-2) =(-2)^2-2 =2
Passo 4
Analisamos limxto-1m(x). Aqui há troca de ramo:
Para xto-1^-, usa-se m(x)=x^2-2, logo
limxto-1^-m(x) =(-1)^2-2 =-1
Para xto-1^+, usa-se m(x)=-|x|, logo
limxto-1^+m(x) =-|-1| =-1
Como os dois limites laterais coincidem em -1, o limite existe e vale -1.
Passo 5
Analisamos limxto0m(x). O ponto 0 está no interior do ramo m(x)=-|x|, que é contínuo em todo [-1,1]. Portanto
limxto0m(x) =-|0| =0
Passo 6
Analisamos limxto1m(x). De novo troca de ramo:
Para xto1^-, m(x)=-|x| dá
limxto1^-m(x) =-|1| =-1
Para xto1^+, m(x)=x^2-2 dá
limxto1^+m(x) =1^2-2 =-1
Os dois lados coincidem em -1, logo o limite existe e vale -1.
Passo 7
Analisamos limxto2m(x). O ponto 2 está na região x>1, com m(x)=x^2-2 contínua, logo