Calcule as seguintes integrais.
integral0^2 integralx^2 y^4 cos (x y^2) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^2integralx^2 y^4cosl(xy^2r),dy,dx
O conteúdo principal envolve mudança de ordem de integração (Teorema de Fubini) e depois integração por substituição em uma integral simples.

Passo 2

Primeiro identificamos a região de integração no plano (x,y). Como x varia de 0 a 2 e para cada x temos y de x até 2, a região é
(x,y)mid 0<= x<= y<= 2
Trocando a ordem, fazemos y de 0 a 2 e, para cada y, x vai de 0 a y. Assim
integral0^2!integralx^2 y^4cos(xy^2),dy,dx = integral0^2!integral0^y y^4cos(xy^2),dx,dy

Passo 3

Na integral interna xmapsto y^4cos(xy^2), tratamos y como constante. Um primitivo de cos(xy^2) em x é
integral cos(xy^2),dx =1y^2sin(xy^2),
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integral0^yy^4cos(xy^2),dx =y^4l[1y^2sin(xy^2)r]0^y =y^2l(sin(y^3)-0r) =y^2sin(y^3)

Passo 4

Substituindo na integral de y, temos agora
integral0^2y^2sinl(y^3r),dy
Para resolver, fazemos a substituição u=y^3, de modo que du=3y^2dy ou y^2dy=tfrac13du. Quando y vai de 0 a 2, u vai de 0 a 8. Assim
integral0^2y^2sin(y^3),dy =13integral0^8sin(u),du

Passo 5

Finalmente,
13integral0^8sin(u),du =13l[-cos(u)r]0^8 =13l(-cos(8)+cos(0)r) =1-cos(8)3

Resposta

1-cos(8)3

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