Calcule as seguintes integrais
integral d xraizx(1+raizx)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dxraizx,(1+raizx)^2,
O conteúdo principal é usar substituição para simplificar a raiz de x. Vamos precisar do fato de que, se fizermos t=raizx, então x=t^2 e dx=2t,dt.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = raizx, x = t^2, dx = 2t,dt,
temos também raizx=t.

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral dxraizx,(1+raizx)^2 = integral 2t,dtt,(1+t)^2 = 2integral dt(1+t)^2

Passo 4

Agora usamos a fórmula de potência para antiderivada:
integral (1+t)^-2,dt = (1+t)^-1-1 = -(1+t)^-1
Logo
2integral (1+t)^-2,dt = 2 l[-(1+t)^-1r] = -21+t+C

Passo 5

Voltando à variável x, temos t=raizx. Portanto a primitiva é
-21+raizx+C

Resposta

-21+raizx+C

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