integral x^3x^2+1 d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral indefinida
integral x^3x^2+1,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional. Para resolver, vamos usar divisão de polinômios (para simplificar o integrando) e depois uma substituição simples.

Passo 2

Fazemos a divisão do polinômio x^3 pelo x^2+1:
x^3x^2+1 = x - xx^2+1
Essa é a “sacada”: quebrar o integrando em duas partes mais fáceis de integrar.

Passo 3

Agora escrevemos a integral como soma de duas integrais:
integral x^3x^2+1,dx = integral x,dx ;-;integral xx^2+1,dx
A primeira é trivial:
integral x,dx = x^22
Para a segunda, fazemos a substituição
u = x^2+1, du = 2x,dx Longrightarrow integral xx^2+1,dx = 12integral 1u,du = 12lnl|ur| = 12lnl(x^2+1r)

Passo 4

Juntando os resultados, obtemos
integral x^3x^2+1,dx = x^22 - 12lnl(x^2+1r) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x^22 - 12lnl(x^2+1r) + C

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