Calcule as seguintes integrais
integral sen t sec ^2(cos t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin t ,sec^2(cos t),dt
O conteúdo da matéria é mudança de variável (substituição). Vamos usar a substituição que torne simples o argumento do sec^2.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = cos t
Então sua diferencial é
du = -sin t,dt Longrightarrow sin t,dt = -,du

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral sin t ,sec^2(cos t),dt = integral sec^2(u),(sin t,dt) = integral sec^2(u),(-du) = -integral sec^2(u),du

Passo 4

Sabemos que
ddul(tan ur) = sec^2u,
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integral sec^2(u),du = tan u + C
Portanto
-integral sec^2(u),du = -tan u + C

Passo 5

Voltando à variável t, com u=cos t, a primitiva fica
-tan(cos t) + C

Resposta

integral sin t ,sec^2(cos t),dt = -tanl(cos tr) + C

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