integral 2 x+1(3 x^2+2) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 2x+13x^2+2,dx
O tema aqui é decompor a fração em duas partes para usar (i) integração por substituição e (ii) a fórmula padrão de integraldxax^2+b.

Passo 2

Separamos a integral em
integral 2x+13x^2+2,dx = integral 2x3x^2+2,dx + integral 13x^2+2,dx

Passo 3

Para
integral 2x3x^2+2,dx,
fazemos a substituição
u = 3x^2+2, du = 6x,dx ;Longrightarrow; 2x,dx = du3
Assim
integral 2x3x^2+2,dx = integral 1u,du3 = 13integral duu = 13lnl|ur| = 13lnl|3x^2+2r|

Passo 4

Para
integral 13x^2+2,dx
usamos a fórmula
integral 1ax^2+b,dx = 1raizab, arctan!l(xraiztfracabr),
onde a=3 e b=2.
Então
raizab=raiz6 e raiztfracab=raiztfrac32, logo
integral 13x^2+2,dx = 1raiz6, arctan!l(xraiztfrac32r)

Passo 5

Somando as duas parcelas e incluindo a constante C, obtemos
integral 2x+13x^2+2,dx = 13lnl|3x^2+2r| + 1raiz6arctan!l(xraiztfrac32r) + C

Resposta

13lnl|3x^2+2r| + 1raiz6arctan!l(xraiztfrac32r) + C

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