Calcule as seguintes integrais
integralln (pi / 6)^ln (pi / 3) 2 e^x cos (e^x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralln(pi/6)^ln(pi/3) 2e^xcosl(e^xr),dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois temos uma composição e^x dentro de cos(cdot) e um fator e^xdx que sugere a troca de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x, du = e^x,dx
Assim,
e^x,dx = du,
e o integrando 2e^xcosl(e^xr),dx fica
2cos(u),du

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração:
quando x = ln(pi/6), temos
u = e^ln(pi/6) = pi6,
e quando x = ln(pi/3), temos
u = e^ln(pi/3) = pi3
Portanto a integral passa a ser
integralu=pi/6^u=pi/3 2cos(u),du

Passo 4

Agora integramos em u:
integral 2cos(u),du = 2sin(u) + C

Passo 5

Voltando à integral definida, avaliamos em u=pi/6 e u=pi/3:
integralpi/6^pi/32cos(u),du = l[2sin(u)r]pi/6^pi/3 = 2sin!l(tfracpi3r) - 2sin!l(tfracpi6r)

Passo 6

Usando sinl(tfracpi3r)=tfracraiz32 e sinl(tfracpi6r)=tfrac12, vem
2l(tfracraiz32r) - 2l(tfrac12r) = raiz3 - 1

Resposta

raiz3 - 1

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