integral 3 x^3+4 x+1(x^2+1)(x-2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3x^3+4x+1(x^2+1)(x-2),dx
Isso é uma integral de função racional. A ideia é usar divisão de polinômios (quando o grau do numerador >= grau do denominador) e depois decompor em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão do numerador pelo denominador:
3x^3+4x+1(x^2+1)(x-2) =3 + 6x^2+x+7(x^2+1)(x-2)
De fato, 3cdot(x^2+1)(x-2)=3x^3-6x^2+3x-6 e subtraindo desse produto obtemos o resto 6x^2+x+7.

Passo 3

Agora decompondo
6x^2+x+7(x^2+1)(x-2) =Ax+Bx^2+1+Cx-2
Multiplicando ambos os lados por (x^2+1)(x-2), vem
6x^2+x+7=(Ax+B)(x-2)+C(x^2+1)

Passo 4

Vamos expandir e comparar coeficientes.
Igualando a
Resolvendo: da segunda . Então pela primeira
Segue e .

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral 3x^3+4x+1(x^2+1)(x-2),dx =integral 3,dx +integral-tfrac35x-tfrac15x^2+1,dx +integraltfrac335x-2,dx
Calculando:
integral 3,dx=3x, integral-tfrac35xx^2+1,dx=-tfrac310ln!l(x^2+1r),
integral-tfrac15x^2+1,dx=-tfrac15arctan x, integraltfrac335x-2,dx=tfrac335lnlvert x-2rvert

Resposta

3x-310ln!l(x^2+1r)-15arctan x +335lnlvert x-2rvert + C

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