Calcule as seguintes integrais
integral1^e 1x(1+ln ^2(x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral1^e 1xl(1+ln^2(x)r),dx
Este é um caso clássico de integral que se resolve por substituição do tipo ,u=ln(x), pois aparece ln(x) no denominador e um fator 1/x multiplicando o dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = ln(x),
de onde
du = 1x,dx
Assim, o diferencial ,dx/x se transforma em du.

Passo 3

Precisamos também mudar os limites de integração. Quando x=1, temos
u = ln(1) = 0,
e quando x=e, temos
u = ln(e) = 1
Portanto a integral em x de 1 até e passa a ser uma integral em u de 0 até 1.

Passo 4

Substituindo tudo, a integral vira
integral1^e 1xl(1+ln^2(x)r),dx = integral0^111+u^2,du
Mas sabemos que
ddul(arctan(u)r)=11+u^2,
logo a primitiva é arctan(u).

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral0^111+u^2,du =l[arctan(u)r]0^1 =arctan(1)-arctan(0) =pi4-0 =pi4

Resposta

pi4

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