Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=1^infty 3^k-1+6.7^k+58^k+2

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a convergência da série
sumk=1^infty3^k-1+6cdot7^k+58^k+2
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é o de séries geométricas. Vamos usar a linearidade da soma e a fórmula
sumk=1^infty r^k = r1-r, válida para |r|<1 á

Passo 2

Separemos a série em duas parcelas, fatorando conforme for conveniente:
sumk=1^infty3^k-1+6cdot7^k+58^k+2 =sumk=1^infty3^k-18^k+2 +6sumk=1^infty7^k+58^k+2

Passo 3

Calculemos
S1=sumk=1^infty3^k-18^k+2
Note que
3^k-18^k+2 =18^2,3^k-18^k =164cdot3^k-18^k =164cdot13l(38r)^k =1192l(38r)^k
Como l|tfrac38r|<1, aplica-se
S1 =1192sumk=1^inftyl(38r)^k =1192cdottfrac381-tfrac38 =1192cdot3/85/8 =3960 =1320

Passo 4

Agora
S2 =6sumk=1^infty7^k+58^k+2 =6cdot7^58^2sumk=1^inftyl(78r)^k
Como 7^5=16807 e 8^2=64, temos
6cdot1680764 =10084264 =5042132,
portanto
S2 =5042132sumk=1^inftyl(78r)^k =5042132cdottfrac781-tfrac78 =5042132cdot7 =35294732

Passo 5

A série original é a soma S=S1+S2. Ambas convergem porque os quocientes tfrac38 e tfrac78 têm módulo menor que 1. Logo
S =1320+35294732 =1+3529470320 =3529471320

Resposta

A série converge e
sumk=1^infty3^k-1+6cdot7^k+58^k+2 =3529471320

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