Sejam
e
como no Teorema de Green. Mostre que a Área de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar como calcular a área de uma região
usando o Teorema de Green. Isso significa que vamos usar uma ferramenta da matemática que relaciona integrais de linha ao redor da fronteira
de
para encontrar a área dentro dessa fronteira. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e o próprio Teorema de Green para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Basicamente, ele nos diz que podemos transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
em uma integral dupla sobre a região
que está dentro dessa curva. A fórmula geral é:
Passo 3
Para encontrar a área de
, queremos uma expressão que nos dê diretamente essa área usando uma integral ao redor de
. Vamos escolher funções
e
de forma que a parte direita do Teorema de Green se torne a área.
Vamos escolher
e
. Vamos ver o que acontece:
Então,
Passo 4
Substituindo essas escolhas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Isso simplifica para:
Resposta
Portanto, a área da região
pode ser calculada pela integral de linha: