Sejam Gamma e D como no Teorema de Green. Mostre que a Área de D

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar como calcular a área de uma região D usando o Teorema de Green. Isso significa que vamos usar uma ferramenta da matemática que relaciona integrais de linha ao redor da fronteira Gamma de D para encontrar a área dentro dessa fronteira. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e o próprio Teorema de Green para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Basicamente, ele nos diz que podemos transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada Gamma em uma integral dupla sobre a região D que está dentro dessa curva. A fórmula geral é:
ointGamma (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA

Passo 3

Para encontrar a área de D , queremos uma expressão que nos dê diretamente essa área usando uma integral ao redor de Gamma . Vamos escolher funções P e Q de forma que a parte direita do Teorema de Green se torne a área.
Vamos escolher P = -y2 e Q = x2 . Vamos ver o que acontece:
partial Qpartial x = partialpartial x(x2) = 12
partial Ppartial y = partialpartial y(-y2) = -12
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 12 - (-12) = 1

Passo 4

Substituindo essas escolhas na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointGamma (-y2,dx + x2,dy) = integral duplaD 1, dA = Área de D Á
Isso simplifica para:
Área de D = 12 ointGamma (x,dy - y,dx) Á

Resposta

Portanto, a área da região D pode ser calculada pela integral de linha:
Área de D = 12 ointGamma (x,dy - y,dx) Á

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