Calcule as seguintes integrais
integral t^2(4 t-3)^4 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = integral t^2(4t-3)^4,dt
O conteúdo principal aqui é usar a substituição para transformar em potências de uma única variável e então integrar termo a termo.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4t - 3,
então
t = u+34, dt = du4, t^2 = (u+3)^216

Passo 3

Substituindo na integral, temos
I = integral tfrac(u+3)^216u^4;du4 = integral (u+3)^264,u^4,du
Expandindo o numerador e escrevendo em potências decrescentes de u:
(u+3)^264,u^4 = u^2+6u+964,u^4 = 164,u^-2 + 664,u^-3 + 964,u^-4

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
integral 164,u^-2,du = -164,u^-1,
integral 664,u^-3,du = -364,u^-2,
integral 964,u^-4,du = -364,u^-3
Somando e incluindo a constante C, obtemos
I = -164l(u^-1 + 3u^-2 + 3u^-3r)+C

Passo 5

Voltando à variável t com u=4t-3,
I = -164l(14t-3 + 3(4t-3)^2 + 3(4t-3)^3r) + C
Reunindo numa única fração, chega-se a
I = -16t^2 -12t +364,(4t-3)^3 + C

Resposta

boxed,integral t^2(4t-3)^4,dt = -16t^2 -12t +364,(4t-3)^3 + C

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