Se r(t) é o vetor posição de uma partícula em movimento mostrar que o vetor velocidade da partícula é perpendicular a r(t).
r(t)=(cos t, sen t)

Passo 1

O enunciado fornece o vetor posição
vec r(t)=(cos t,sen t)
e pede para mostrar que o vetor velocidade
vec v(t)=ddtvec r(t)
é sempre perpendicular a vec r(t).
Conteúdo necessário: derivada de vetor–função e critério de perpendicularidade via produto escalar.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
ddt(cos t)= -sen t, ddt(sen t)=cos t
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vec v(t)=vec r,'(t)=(-sen t,cos t)

Passo 3

Usamos o produto escalar para testar perpendicularidade:
vec r(t)cdot vec v(t) =(cos t)(- sen t)+(sen t)(cos t) =-cos t,sen t+sen t,cos t=0

Passo 4

Como o produto escalar de vec r(t) e vec v(t) é zero para todo t, concluímos que os vetores são sempre perpendiculares.

Resposta

Como vec r(t)cdot vec v(t)=0 para todo t, o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição.

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