Derive as funções:
h(x)=raiz4 sen^2 x+9 cos ^2 x

Passo 1

Então, basicamente a questão pede pra derivar
h(x)=raiz4sin^2 x+9cos^2 x
O conteúdo aqui é derivada de função composta (regra da cadeia), derivada de potência e derivadas de seno/cosseno. Vamos precisar de:
  1. regra da cadeia,
  2. ddxsin x=cos x,
  3. ddxcos x=-sin x,
  4. derivada de u^1/2.

Passo 2

Pra facilitar, escrevo
h(x) = l(4sin^2 x + 9cos^2 xr)^1/2
Apliquemos a regra da cadeia: se h(x)=f(g(x)), então
h'(x)=f'(g(x))cdot g'(x)

Passo 3

Identifico as funções:
f(u)=u^1/2Longrightarrow f'(u)=12u^-1/2=12raizu,
g(x)=4sin^2 x+9cos^2 x

Passo 4

Agora derivamos g(x) termo a termo:
  • Para 4sin^2 x: o 4 fica, e ddxsin^2 x=2sin xcos x. Logo dá
4cdot2sin xcos x = 8sin xcos x
  • Para 9cos^2 x: o 9 fica, e ddxcos^2 x=2cos xcdot(-sin x)=-2sin xcos x. Logo dá
9cdot(-2sin xcos x) = -18sin xcos x
Somando,
g'(x)=8sin xcos x - 18sin xcos x = -10sin xcos x

Passo 5

Juntando tudo pela cadeia:
h'(x) = f'(g(x));g'(x) = 12raiz4sin^2 x+9cos^2 x;l(-10sin xcos xr) = -10sin xcos x2raiz4sin^2 x+9cos^2 x = -5sin xcos xraiz4sin^2 x+9cos^2 x

Resposta

boxedh'(x)=-5,sin x,cos xraiz4sin^2 x+9cos^2 x,

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