Resolva as integrais de potencias e de produtos de senos e cossenos.
integral-pi / 2^pi / 2 2 sen^2 y cos ^3 y d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de 2 sin^2 y cos^3 y no intervalo de -pi2 a pi2. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem potências de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecer algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão 2 sin^2 y cos^3 y. Note que temos potências ímpares de cosseno ( cos^3 y), o que nos permite usar a substituição. A ideia é separar um fator de cosseno para facilitar a substituição.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando um cosseno:
2 sin^2 y cos^3 y = 2 sin^2 y cos^2 y cdot cos y
Sabemos que cos^2 y = 1 - sin^2 y (identidade trigonométrica básica).

Passo 4

Substituímos cos^2 y na integral:
2 sin^2 y (1 - sin^2 y) cos y , dy
Agora, podemos fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 5

Vamos usar a substituição u = sin y. Então, a derivada de u em relação a y é du = cos y , dy. Isso simplifica a integral para termos em u.

Passo 6

Substituindo na integral:
2 integralu(-pi/2)^u(pi/2) u^2 (1 - u^2) , du
Sabemos que sin(-pi2) = -1 e sin(pi2) = 1, então os limites de integração ficam de -1 a 1.

Passo 7

Expandindo a expressão dentro da integral:
2 integral-1^1 (u^2 - u^4) , du
Agora, podemos integrar termo a termo.

Passo 8

Calculando as integrais:
2 [ u^33 - u^55 ]-1^1
Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de -1 a 1.

Passo 9

Avaliação nos limites:
Para u = 1:
1^33 - 1^55 = 13 - 15 = 5 - 315 = 215
Para u = -1:
(-1)^33 - (-1)^55 = -13 - -15 = -13 + 15 = -5 - 315 = -215

Passo 10

Subtraindo os valores:
2 ( 215 - ( -215 ) ) = 2 ( 415 ) = 815

Resposta

A integral integral-pi / 2^pi / 2 2 sin^2 y cos^3 y , dy é igual a 815.

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