Resolva as integrais de potencias e de produtos de senos e cossenos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem potências de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecer algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão
. Note que temos potências ímpares de cosseno (
), o que nos permite usar a substituição. A ideia é separar um fator de cosseno para facilitar a substituição.
Passo 3
Vamos reescrever a integral separando um cosseno:
Sabemos que
(identidade trigonométrica básica).
Passo 4
Substituímos
na integral:
Agora, podemos fazer uma substituição para simplificar a integral.
Passo 5
Vamos usar a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é
. Isso simplifica a integral para termos em
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Sabemos que
e
, então os limites de integração ficam de
a
.
Passo 7
Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, podemos integrar termo a termo.
Passo 8
Calculando as integrais:
Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de -1 a 1.
Passo 9
Avaliação nos limites:
Para :
Para
Para
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral
é igual a
.