Resolva as integrais de potencias e de produtos de senos e cossenos.
integral-1 / 4^1 / 4 4 sen(3 pi x) sen(pi x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral-1 / 4^1 / 4 4 sin(3pi x) sin(pi x) , dx. Aqui, estamos trabalhando com integrais de produtos de funções trigonométricas, especificamente produtos de senos. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de senos em termos de cossenos, o que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica para o produto de dois senos:
sin(A) sin(B) = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
No nosso caso, A = 3pi x e B = pi x. Vamos substituir esses valores na identidade.

Passo 3

Aplicando a identidade:
sin(3pi x) sin(pi x) = 12 [cos(3pi x - pi x) - cos(3pi x + pi x)]
Simplificando dentro dos cossenos:
= 12 [cos(2pi x) - cos(4pi x)]

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral-1 / 4^1 / 4 4 sin(3pi x) sin(pi x) , dx = integral-1 / 4^1 / 4 4 cdot 12 [cos(2pi x) - cos(4pi x)] , dx
Simplificando o fator constante:
= 2 integral-1 / 4^1 / 4 [cos(2pi x) - cos(4pi x)] , dx

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
2 [ integral-1 / 4^1 / 4 cos(2pi x) , dx - integral-1 / 4^1 / 4 cos(4pi x) , dx ]
Sabemos que a integral de cos(kx) é 1k sin(kx). Aplicando isso:
= 2 [ ( 12pi sin(2pi x) ) |-1/4^1/4 - ( 14pi sin(4pi x) ) |-1/4^1/4 ]

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para sin(2pi x):
sin(2pi cdot 14) = sin(pi2) = 1
sin(2pi cdot (-14)) = sin(-pi2) = -1
Para sin(4pi x):
sin(4pi cdot 14) = sin(pi) = 0
sin(4pi cdot (-14)) = sin(-pi) = 0
Substituindo na expressão:
= 2 [ ( 12pi (1 - (-1)) ) - ( 14pi (0 - 0) ) ]
Simplificando:
= 2 [ 22pi - 0 ] = 2 ( 1pi ) = 2pi

Resposta

A integral integral-1 / 4^1 / 4 4 sin(3pi x) sin(pi x) , dx é igual a dfrac2pi.

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