Resolva as integrais de potencias e de produtos de senos e cossenos.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com integrais de produtos de funções trigonométricas, especificamente produtos de senos. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de senos em termos de cossenos, o que facilita a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica para o produto de dois senos:
No nosso caso, e . Vamos substituir esses valores na identidade.
Passo 3
Aplicando a identidade:
Simplificando dentro dos cossenos:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Simplificando o fator constante:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que a integral de é . Aplicando isso:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para sin(2pi x):
sin(2pi cdot 14) = sin(pi2) = 1
sin(2pi cdot (-14)) = sin(-pi2) = -1
Para sin(4pi x):
sin(4pi cdot 14) = sin(pi) = 0
sin(4pi cdot (-14)) = sin(-pi) = 0
Substituindo na expressão:
= 2 [ ( 12pi (1 - (-1)) ) - ( 14pi (0 - 0) ) ]
Simplificando:
= 2 [ 22pi - 0 ] = 2 ( 1pi ) = 2pi
Resposta
A integral integral-1 / 4^1 / 4 4 sin(3pi x) sin(pi x) , dx é igual a dfrac2pi.