Calcule as seguintes integrais:
10. \int \frac{x^{3}-4 x+5}{x^{2}\left(x^{2}-4 x+5\right)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{3}-4x+5}{x^{2}\bigl(x^{2}-4x+5\bigr)}\,dx
Vamos usar o método de frações parciais, que consiste em escrever o integrando como soma de termos mais simples.

Passo 2

Proponho a decomposição
\frac{x^{3}-4x+5}{x^{2}\bigl(x^{2}-4x+5\bigr)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{Cx+D}{x^{2}-4x+5}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x^{2}-4x+5), obtemos
x^{3}-4x+5 = A\,x\,(x^{2}-4x+5) \;+\; B\,(x^{2}-4x+5)\;+\;(Cx+D)\,x^{2}.
Expandindo e agrupando coeficientes em potência de x, dá o sistema:
\begin{cases} A + C = 1,\\\\ -4A + B + D = 0,\\\\ 5A - 4B = -4,\\\\ 5B = 5. \end{cases}

Passo 3

Do quarto item vem B=1. Substituindo no terceiro:
5A - 4\cdot1 = -4\quad\Longrightarrow\quad5A=0\quad\Longrightarrow\quad A=0.
Do primeiro item: C=1. Do segundo:
-4\cdot0 + 1 + D=0\quad\Longrightarrow\quad D=-1.

Passo 4

Portanto a decomposição é
\frac{x^{3}-4x+5}{x^{2}(x^{2}-4x+5)} = \frac{0}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{x-1}{x^{2}-4x+5} = x^{-2} + \frac{x-1}{x^{2}-4x+5}.

Passo 5

A integral se separa:
\int x^{-2}\,dx + \int \frac{x-1}{x^{2}-4x+5}\,dx.
A primeira parte é imediata:
\int x^{-2}\,dx = -\,\frac{1}{x}.

Passo 6

Para a segunda parte, note que
x^{2}-4x+5 = (x-2)^{2}+1, \quad x-1 = (x-2)+1.
Então
\frac{x-1}{x^{2}-4x+5} = \frac{x-2}{(x-2)^{2}+1} \;+\; \frac{1}{(x-2)^{2}+1}.
Integrando:
\int \frac{x-2}{(x-2)^{2}+1}\,dx = \tfrac12 \ln\bigl((x-2)^{2}+1\bigr), \quad \int \frac{1}{(x-2)^{2}+1}\,dx = \arctan(x-2).

Passo 7

Somando tudo, a integral original vale
-\,\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}-4x+5\bigr) + \arctan(x-2) + C.

Resposta

-\,\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}-4x+5\bigr) + \arctan(x-2) + C.

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