Calcule as seguintes integrais:
8. \int \frac{5 x-7}{x^{2}-2 x-3} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{5x - 7}{x^{2} - 2x - 3}\,dx.
O conteúdo que vamos usar é integração de função racional por decomposição em frações parciais. Precisamos fatorar o denominador e escrever o integrando como soma de termos da forma A/(x - x_{0}).

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1).
Em seguida, fazemos a decomposição
\frac{5x-7}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}.
Multiplicando os dois lados por (x-3)(x+1)\), obtemos \[5x - 7 = A(x+1) + B(x-3) = (A+B)x + (A - 3B).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 5,\\\ A - 3B = -7. \end{cases}
Resolvendo o sistema, B=3\] e \(A=2.

Passo 3

Substituindo de volta, a integral fica
\int \frac{5x-7}{x^{2}-2x-3}\,dx = \int \Bigl(\frac{2}{x-3} + \frac{3}{x+1}\Bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo usando \int \tfrac{1}{x-a}\,dx = \ln\lvert x-a\rvert:
\int \frac{2}{x-3}\,dx = 2\ln\lvert x-3\rvert, \qquad \int \frac{3}{x+1}\,dx = 3\ln\lvert x+1\rvert.

Resposta

\int \frac{5x-7}{x^{2}-2x-3}\,dx = 2\ln\lvert x-3\rvert + 3\ln\lvert x+1\rvert + C.

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