Calcule as seguintes integrais:
12. \int \frac{3 x^{3}+8 x^{2}+11 x+4}{x\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int \frac{3x^3+8x^2+11x+4}{x(x^2+2x+2)^2}\,dx.
O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e integração de funções racionais, incluindo termos do tipo \int\frac{dx}{x}, \int\frac{Bx+C}{x^2+2x+2}\,dx e \int\frac{dx}{(x^2+2x+2)^2}.

Passo 2

Introduzimos a decomposição em frações parciais:
\frac{3x^3+8x^2+11x+4}{x(x^2+2x+2)^2} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2} + \frac{Dx+E}{(x^2+2x+2)^2}.
Multiplicando por x(x^2+2x+2)^2 e igualando coeficientes, obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\\\ 4A+2B+C=3,\\\\ 8A+2B+2C+D=8,\\\\ 8A+2C+E=11,\\\\ 4A=4. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema:
4A=4\implies A=1,\quad B=-1,\quad C=1,\quad D=0,\quad E=1.
Assim
\frac{3x^3+8x^2+11x+4}{x(x^2+2x+2)^2} = \frac{1}{x} + \frac{-x+1}{x^2+2x+2} + \frac{1}{(x^2+2x+2)^2}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int\frac{dx}{x}=\ln|x|.
  2. Para \displaystyle \int \frac{-x+1}{x^2+2x+2}\,dx, note que
x^2+2x+2=(x+1)^2+1,
faça u=x+1, então
\int \frac{-x+1}{x^2+2x+2}\,dx = \int \frac{-u+2}{u^2+1}\,du = -\tfrac12\ln(u^2+1)+2\arctan(u).
Voltando a x:
= -\tfrac12\ln\bigl((x+1)^2+1\bigr)+2\arctan(x+1).

Passo 5

Para \displaystyle \int\frac{dx}{(x^2+2x+2)^2}, use u=x+1 e a fórmula padrão
\int \frac{du}{(u^2+1)^2} = \frac{u}{2(u^2+1)}+\frac12\arctan(u).
Logo
\int \frac{dx}{(x^2+2x+2)^2} = \frac{x+1}{2\bigl((x+1)^2+1\bigr)}+\frac12\arctan(x+1).

Passo 6

Somando tudo e agrupando termos de \arctan:
\int \frac{3x^3+8x^2+11x+4}{x(x^2+2x+2)^2}\,dx = \ln|x| -\frac12\ln\bigl((x+1)^2+1\bigr) +\frac{5}{2}\arctan(x+1) +\frac{x+1}{2\bigl((x+1)^2+1\bigr)}+C.

Resposta

\int \frac{3x^3+8x^2+11x+4}{x(x^2+2x+2)^2}\,dx = \ln|x| -\frac12\ln\bigl((x+1)^2+1\bigr) +\frac{5}{2}\arctan(x+1) +\frac{x+1}{2\bigl((x+1)^2+1\bigr)}+C.

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