Calcule as seguintes integrais:
11. \int \frac{9 x^{2}+2 x-2}{x(x-1)(x+2)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{9x^{2} + 2x - 2}{x\,(x-1)\,(x+2)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a decomposição em frações parciais de uma função racional e depois a integração de termos do tipo \tfrac{1}{x+a}.

Passo 2

Como o grau do numerador 2 é menor que o do denominador 3, fazemos a decomposição padrão
\frac{9x^{2} + 2x - 2}{x\,(x-1)\,(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+2), obtemos a identidade
9x^{2} + 2x - 2 = A(x-1)(x+2) + B\,x\,(x+2) + C\,x\,(x-1).

Passo 3

Para encontrar A, B e C, escolhemos valores convenientes de x:
  • Em x=0:
9\cdot0^{2}+2\cdot0-2 = -2 = A\,(0-1)(0+2) = -2A \quad\Longrightarrow\quad A = 1.
  • Em x=1:
9\cdot1^{2}+2\cdot1-2 = 9 = B\cdot1\,(1+2) = 3B \quad\Longrightarrow\quad B = 3.
  • Em x=-2:
9\cdot(-2)^{2}+2\cdot(-2)-2 = 36 -4 -2 = 30 = C\cdot(-2)\,(-3) = 6C \quad\Longrightarrow\quad C = 5.

Passo 4

Substituindo na decomposição, a integral vira
\int \frac{9x^{2}+2x-2}{x(x-1)(x+2)}\,dx = \int \Bigl(\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1} + \frac{5}{x+2}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert, \quad \int \frac{3}{x-1}\,dx = 3\ln\lvert x-1\rvert, \quad \int \frac{5}{x+2}\,dx = 5\ln\lvert x+2\rvert.

Resposta

\int \frac{9x^{2}+2x-2}{x(x-1)(x+2)}\,dx = \ln\lvert x\rvert + 3\ln\lvert x-1\rvert + 5\ln\lvert x+2\rvert + C.

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