Calcule as seguintes integrais:
9. \int \frac{3 x^{2}-16+4 x}{(x-1)\left(x^{2}-4\right)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral racional
\int \frac{3x^{2}+4x-16}{(x-1)(x^{2}-4)}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional e vamos usar decomposição em frações parciais. Primeiro fatoramos o denominador e, em seguida, expressamos o integrando como soma de termos simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
(x-1)(x^{2}-4) = (x-1)(x-2)(x+2).
Procuramos constantes A, B, C tais que
\frac{3x^{2}+4x-16}{(x-1)(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+2}.

Passo 3

Colocando tudo sobre o mesmo denominador, obtemos a identidade
3x^{2}+4x-16 = A\,(x-2)(x+2) + B\,(x-1)(x+2) + C\,(x-1)(x-2).
Expandindo cada produto:
A(x^{2}-4) + B(x^{2}+x-2) + C(x^{2}-3x+2).
Somando termos semelhantes, isso vira
(A+B+C)\,x^{2} + (B-3C)\,x + (-4A-2B+2C).
Comparando coeficientes com 3x^{2}+4x-16 dá o sistema:
\begin{cases} A+B+C = 3,\\\ B - 3C = 4,\\\\ -4A - 2B + 2C = -16. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação B = 4 + 3C.
Substituindo na primeira: A + (4+3C) + C = 3 implica A = -1 -4C.
Na terceira:
-4(-1-4C) -2(4+3C) +2C = -16 \quad\Longrightarrow\quad 4+16C -8 -6C +2C = -16 \quad\Longrightarrow\quad 12C = -12 \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Então B = 4 + 3(-1) = 1 e A = -1 -4(-1) = 3.

Passo 5

Logo a integral fica
\int\!\Bigl(\frac{3}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
3\int\frac{dx}{x-1} + \int\frac{dx}{x-2} - \int\frac{dx}{x+2} = 3\ln\bigl|x-1\bigr| + \ln\bigl|x-2\bigr| - \ln\bigl|x+2\bigr| + C.

Resposta

3\ln\bigl|x-1\bigr| \;+\;\ln\bigl|x-2\bigr|\;-\;\ln\bigl|x+2\bigr|\;+\;C.

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