Calcule as seguintes integrais:
13. \int \frac{3 x^{2}-x^{3}-2 x+1}{x^{2}(x-1)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{3 x^{2}-x^{3}-2 x+1}{x^{2}(x-1)^{2}}\,dx.
Este é um caso de fração racional, então vamos usar decomposição em frações parciais para depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Como o grau do numerador (3) é menor que o do denominador (4), já está própria. Escrevemos a decomposição como
\frac{3 x^{2}-x^{3}-2 x+1}{x^{2}(x-1)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x-1} + \frac{D}{(x-1)^{2}}.

Passo 3

Multiplicamos por x^{2}(x-1)^{2}\) e igualamos numeradores: \[- x^{3}+3 x^{2}-2 x+1 = A\,x(x-1)^{2} + B\,(x-1)^{2} + C\,x^{2}(x-1) + D\,x^{2}.
Expandindo e agrupando em potências de x obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = -1,\\\\ -2A + B - C + D = 3,\\\ A - 2B = -2,\\\ B = 1. \end{cases}
Da última equação vem B=1\]. Substituindo em \(A - 2B=-2 A=0. Em seguida C=-1 e D=1.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int\Bigl(\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^{2}}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int x^{-2}dx = -\frac{1}{x},\quad \int \frac{-1}{x-1}dx = -\ln\lvert x-1\rvert,\quad \int (x-1)^{-2}dx = -\frac{1}{x-1}.
Somando tudo, obtemos a forma geral da primitiva.

Resposta

-\frac{1}{x} \;-\;\ln\lvert x-1\rvert\;-\;\frac{1}{x-1} + C.

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