Calcule as seguintes integrais:
14. \int \frac{x-2}{\left(x^{2}+9\right)^{3}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{x - 2}{\bigl(x^{2} + 9\bigr)^{3}}\,dx.
O conteúdo aqui é integrar uma função racional cujo denominador é potência de x^{2}+a^{2}. Vamos dividir em duas partes para usar substituição simples no termo com x e substituição trigonométrica no termo constante.

Passo 2

Separe a integral em
\int \frac{x}{(x^{2}+9)^{3}}\,dx \;-\;2\int \frac{1}{(x^{2}+9)^{3}}\,dx.
Para a primeira parte, faça u = x^{2}+9, então du = 2x\,dx e x\,dx = \tfrac12\,du. Logo,
\int \frac{x}{(x^{2}+9)^{3}}\,dx = \int \frac{1}{2\,u^{3}}\,du = -\frac{1}{4\,u^{2}} + C = -\frac{1}{4\,(x^{2}+9)^{2}} + C.

Passo 3

Para
\int \frac{1}{(x^{2}+9)^{3}}\,dx
use a substituição trigonométrica x = 3\tan\theta, dx = 3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, e
x^{2}+9 = 9\operatorname{sec}^{2}\theta.
Então
\int \frac{dx}{(x^{2}+9)^{3}} = \int \frac{3\operatorname{sec}^{2}\theta}{\bigl(9\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{3}}\,d\theta = \frac{1}{243} \int \cos^{4}\theta\,d\theta.
Como
\cos^{4}\theta = \frac{3+4\cos2\theta+\cos4\theta}{8},
integramos e obtemos, de volta à variável x:
\int \frac{dx}{(x^{2}+9)^{3}} = \frac{x\,(x^{2}+15)}{216\,(x^{2}+9)^{2}} \;+\;\frac{1}{648}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

Passo 4

Voltando à integral original,
\int \frac{x-2}{(x^{2}+9)^{3}}\,dx = \Bigl(-\frac{1}{4\,(x^{2}+9)^{2}}\Bigr) \;-\;2\Bigl(\frac{x\,(x^{2}+15)}{216\,(x^{2}+9)^{2}} +\frac{1}{648}\arctan\tfrac{x}{3}\Bigr) + C.
Simplificando os coeficientes, chega-se a
-\frac{x^{3}+15x+27}{108\,(x^{2}+9)^{2}} \;-\;\frac{1}{324}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{x-2}{\bigl(x^{2}+9\bigr)^{3}}\,dx = -\frac{x^{3}+15x+27}{108\,(x^{2}+9)^{2}} \;-\;\frac{1}{324}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

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