Calcule as seguintes integrais:
b) \int_{0}^{\pi / 6} \cos ^{2} x dx.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi/6}\cos^{2}x\,dx.
O tema é integração de funções trigonométricas, e o truque clássico é usar a identidade de ângulo duplo
\cos^{2}x = \frac{1+\cos(2x)}{2}.

Passo 2

Aplicando essa identidade dentro da integral, temos
\int_{0}^{\pi/6}\cos^{2}x\,dx = \int_{0}^{\pi/6}\frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/6}\bigl(1+\cos(2x)\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora separamos e integramos termo a termo:
\int\bigl(1+\cos(2x)\bigr)\,dx = \int 1\,dx + \int \cos(2x)\,dx = x + \frac{1}{2}\sin(2x).
Logo a primitiva é
\frac{1}{2}\Bigl(x + \tfrac12\sin(2x)\Bigr).

Passo 4

Vamos avaliar de 0 a \pi/6:
\frac{1}{2}\Bigl[x + \tfrac12\sin(2x)\Bigr]_{0}^{\pi/6} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{6} + \tfrac12\sin\!\tfrac{\pi}{3} - \bigl(0 + \tfrac12\sin0\bigr)\Bigr).

Passo 5

Como \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin0=0, fica
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{6} + \tfrac12\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}\Bigr) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}.

Resposta

\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}.

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