Calcule as seguintes integrais:
a) \int \cos ^{5} x \operatorname{sen} x dx.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{5}x\,\sin x\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição (u-substituição), aproveitando que a derivada de \cos x envolve \sin x.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \cos x.
Isso faz sentido porque a parte \cos^{5}x se transforma em u^{5} e o diferencial de u traz \sin x\,dx.

Passo 3

Derivando u em relação a x temos
du = -\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx = -\,du.

Passo 4

Substituindo na integral original:
\int \cos^{5}x\,\sin x\,dx = \int u^{5}\,(-du) = -\int u^{5}\,du.

Passo 5

Agora integramos em u:
-\int u^{5}\,du = -\frac{u^{6}}{6} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável x pela substituição u=\cos x, obtemos
-\frac{(\cos x)^{6}}{6} + C
como antiderivada da função dada.

Resposta

-\frac{\cos^{6}x}{6} + C.

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