Considere o problema de valor inicial
Se
é uma solução, encontre as coordenadas
de máximo em função de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = b $. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas $ (t_M, y_M) $ do ponto de máximo da solução $ \varphi(t) $ em função de $ b $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, encontrar a solução geral dessa equação, aplicar as condições iniciais e, por fim, determinar onde ocorre o máximo da função solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo essa forma na equação diferencial:
Dividindo todos os termos por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
usando a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 4 $, $ b = 4 $ e $ c = 1 $. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais:
Passo 4
Com raízes reais e iguais $ r = -\frac{1}{2} $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
Portanto, $ C_1 = 1 $.
Agora, vamos encontrar a derivada de $ y(t) $:
Simplificando:
Aplicando a condição inicial $ y’(0) = b $:
o que nos dá:
Passo 6
Agora que temos $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = b + \frac{1}{2} $, podemos escrever a solução geral completa:
Passo 7
Para encontrar o ponto de máximo $ (t_M, y_M) $, precisamos determinar o valor de $ t $ onde a derivada $ y’(t) $ é zero, ou seja, onde a inclinação da função é zero.
Usando a expressão para $ y’(t) $ que encontramos:
Simplificando:
Como $ e^{-\frac{1}{2} t} $ nunca é zero, podemos igualar a outra parte a zero:
Passo 8
Resolvendo para $ t $:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Isolando $ t $:
Simplificando o denominador:
Passo 9
Agora que temos $ t_M = \frac{2b + 1}{b + 0,5} $, vamos encontrar $ y_M = y(t_M) $.
Substituindo $ t_M $ na expressão de $ y(t) $:
Simplificando:
Resposta
As coordenadas do ponto de máximo são