Considere o problema de valor inicial
4 y^prime prime+4 y^prime+y=0, y(0)=1, y^prime(0)=b
Se varphi é uma solução, encontre as coordenadas (tM, yM) de máximo em função de b.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado pela equação diferencial
4 y'' + 4 y' + y = 0,
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = b $. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas $ (t_M, y_M) $ do ponto de máximo da solução $ \varphi(t) $ em função de $ b $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, encontrar a solução geral dessa equação, aplicar as condições iniciais e, por fim, determinar onde ocorre o máximo da função solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
4 y'' + 4 y' + y = 0
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo essa forma na equação diferencial:
y = e^rt
Dividindo todos os termos por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica
4r^2 + 4r + 1 = 0
usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a,
onde $ a = 4 $, $ b = 4 $ e $ c = 1 $. Calculando o discriminante:
a = 4
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais:
b = 4

Passo 4

Com raízes reais e iguais $ r = -\frac{1}{2} $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
r = -12
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
C1
Portanto, $ C_1 = 1 $.
Agora, vamos encontrar a derivada de $ y(t) $:
C2
Simplificando:
t = 0
Aplicando a condição inicial $ y’(0) = b $:
y(0) = (C1 + C2 cdot 0) e^0 = C1 = 1
o que nos dá:
C1 = 1

Passo 6

Agora que temos $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = b + \frac{1}{2} $, podemos escrever a solução geral completa:
C1 = 1

Passo 7

Para encontrar o ponto de máximo $ (t_M, y_M) $, precisamos determinar o valor de $ t $ onde a derivada $ y’(t) $ é zero, ou seja, onde a inclinação da função é zero.
Usando a expressão para $ y’(t) $ que encontramos:
(tM, yM)
Simplificando:
t
Como $ e^{-\frac{1}{2} t} $ nunca é zero, podemos igualar a outra parte a zero:
y'(t)

Passo 8

Resolvendo para $ t $:
t
Multiplicando ambos os lados por 2:
b + 12 = b + 122 t
Isolando $ t $:
2b + 1 = (b + 12) t
Simplificando o denominador:
t

Passo 9

Agora que temos $ t_M = \frac{2b + 1}{b + 0,5} $, vamos encontrar $ y_M = y(t_M) $.
Substituindo $ t_M $ na expressão de $ y(t) $:
tM = 2b + 1b + 0,5
Simplificando:
yM = y(tM)

Resposta

As coordenadas do ponto de máximo são
( tM, yM ) = ( 2b + 1b + 12, 2(b + 1) e^-1 )

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