Calcule as seguintes integrais, aplicando o Método de Integração por Frações Parciais:
\int \frac{2 x+1}{x^{2}+2 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{2x+1}{x^{2}+2x+2}\,dx
usando o Método de Integração por Frações Parciais. Aqui o denominador x^{2}+2x+2 é um trinômio irreduzível, então vamos ajustar o numerador como combinação da derivada do denominador mais um resto constante.

Passo 2

Observe que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)=2x+2.
Podemos escrever
2x+1 = (2x+2) - 1.
Assim
\frac{2x+1}{x^{2}+2x+2} = \frac{2x+2}{x^{2}+2x+2} - \frac{1}{x^{2}+2x+2}.

Passo 3

Logo
\int \frac{2x+1}{x^{2}+2x+2}\,dx = \int \frac{2x+2}{x^{2}+2x+2}\,dx - \int \frac{1}{x^{2}+2x+2}\,dx.
No primeiro termo fazemos a substituição
u = x^{2}+2x+2,\quad du=(2x+2)\,dx,
resultando em
\int \frac{2x+2}{x^{2}+2x+2}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert = \ln(x^{2}+2x+2).

Passo 4

Para o segundo termo, completamos o quadrado no denominador:
x^{2}+2x+2 = (x+1)^{2}+1.
Então precisamos calcular
\int \frac{1}{(x+1)^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Usamos a fórmula
\int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \arctan(t).
Com t = x+1 e dt=dx, temos
\int \frac{1}{(x+1)^{2}+1}\,dx = \arctan(x+1).

Passo 6

Reunindo os dois resultados:
\int \frac{2x+1}{x^{2}+2x+2}\,dx = \ln(x^{2}+2x+2) \;-\;\arctan(x+1) + C.

Resposta

\int \frac{2x+1}{x^{2}+2x+2}\,dx = \ln(x^{2}+2x+2) \;-\;\arctan(x+1) + C.

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