Questão 2: Um contêiner para estocagem retangular com tampa deve ter um volume de 10 \mathrm{~m}^{3}. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa \ 10 por metro quadrado. O material para os lados e tampa custa$5$ por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato desses contêineres.

Passo 1

O enunciado pede para projetar um contêiner retangular com tampa de volume fixo de 10; m^{3}, em que a base tem comprimento o dobro da largura. O custo do material da base é \$10/ m^{2} e o custo dos lados mais a tampa é \$5/ m^{2}. Vamos usar otimização com cálculo de derivada para encontrar as dimensões que minimizam o custo.

Passo 2

Seja x a largura da base e 2x o seu comprimento. Seja h a altura. A condição de volume é
x \cdot 2x \cdot h = 10
ou seja
2x^2\,h = 10 \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{5}{x^2}.

Passo 3

Agora expressamos o custo total C em função de x.
Área da base: 2x^2, custo \$10/ m^{2}.
Área da tampa: também 2x^2, custo \$5/ m^{2}.
Área dos quatro lados:
2\bigl(\text{comprimento}\times h\bigr)+2\bigl(\text{largura}\times h\bigr) =2(2x\,h)+2(x\,h)=6x\,h,
custo \$5/ m^{2}.
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C(x) =10\cdot(2x^2) +5\cdot(2x^2) +5\cdot(6x\,h) =20x^2 + 10x^2 + 30x\,h =30x^2 + 30x\,h.

Passo 4

Substituindo h=\tfrac{5}{x^2} em C(x), obtemos
C(x) =30x^2 + 30x\!\left(\frac{5}{x^2}\right) =30x^2 + \frac{150}{x}.

Passo 5

Para minimizar, calculamos C'(x) e igualamos a zero:
C'(x)=60x -150x^{-2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 60x = 150x^{-2} \quad\Longrightarrow\quad x^3 = \frac{150}{60} = \frac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = \Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{1/3}.
Então
h = \frac{5}{x^2} = \frac{5}{\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2/3}} =20^{1/3}, \quad \text{comprimento}=2x=20^{1/3}.

Passo 6

O custo mínimo é
C_{\min} =30x^2 + \frac{150}{x} \Bigl\lvert_{\,x=(5/2)^{1/3}}\Bigr. =225\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{1/3} \approx 165,85.

Resposta

O custo mínimo dos materiais é
225\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{1/3}\approx 165,85
dólares.

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