Questão 2: Um contêiner para estocagem retangular com tampa deve ter um volume de
. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa
10
$5$ por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato desses contêineres.
Passo 1
O enunciado pede para projetar um contêiner retangular com tampa de volume fixo de
;
, em que a base tem comprimento o dobro da largura. O custo do material da base é
/
e o custo dos lados mais a tampa é
/
. Vamos usar otimização com cálculo de derivada para encontrar as dimensões que minimizam o custo.
Passo 2
Seja
a largura da base e
o seu comprimento. Seja
a altura. A condição de volume é
ou seja
Passo 3
Agora expressamos o custo total
em função de
.
Área da base: , custo
/
.
Área da tampa: também , custo
/
.
Área dos quatro lados:
Área da base:
Área da tampa: também
Área dos quatro lados:
custo
/
.
Logo
Logo
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
Passo 5
Para minimizar, calculamos
e igualamos a zero:
Então
Passo 6
O custo mínimo é
Resposta
O custo mínimo dos materiais é
dólares.