Calcule as seguintes integrais, aplicando o Método de Integração por Frações Parciais:
\int \frac{5 x}{\sqrt{x^{2}-25}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5x}{\sqrt{x^{2}-25}}\,dx
usando, em princípio, frações parciais. Porém, aqui o denominador não é um polinômio, e sim uma raiz; portanto, em vez de frações parciais, vamos usar substituição, pois reconhecemos que a derivada de x^{2}-25 aparece no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} - 25.
Dessa forma, o diferencial é
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em u. Note que
\sqrt{x^{2}-25} = \sqrt{u}
e
5x\,dx = 5\,(x\,dx) = 5\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{5}{2}\,du.
Logo,
\int \frac{5x}{\sqrt{x^{2}-25}}\,dx = \int \frac{\tfrac{5}{2}\,du}{\sqrt{u}} = \frac{5}{2} \int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{5}{2} \int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{5}{2} \cdot \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = \frac{5}{2} \cdot 2\,\sqrt{u} = 5\,\sqrt{u} + C.

Passo 5

Retornando à variável x, temos
5\,\sqrt{u} + C = 5\,\sqrt{x^{2}-25} + C.

Resposta

\int \frac{5x}{\sqrt{x^{2}-25}}\,dx = 5\,\sqrt{x^{2}-25} + C.

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