Questão 3: Calcular as integrais:
\int \frac{(x-1)^{3}}{x^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{(x-1)^{3}}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo é uma integral de função racional simples. A ideia é expandir o numerador, dividir por x^{2} termo a termo e depois integrar cada potência.

Passo 2

Primeiro expandimos o cubo no numerador:
(x-1)^{3} = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1.
Logo
\int \frac{(x-1)^{3}}{x^{2}}\,dx = \int \frac{x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Dividimos cada termo por x^{2}:
\frac{x^{3}}{x^{2}} = x,\quad \frac{-3x^{2}}{x^{2}} = -3,\quad \frac{3x}{x^{2}} = 3x^{-1},\quad \frac{-1}{x^{2}} = -x^{-2}.
Assim a integral vira
\int \bigl(x - 3 + 3x^{-1} - x^{-2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo usando
\int x^{n}\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1 e \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int (-3)\,dx = -3x,\quad \int 3x^{-1}\,dx = 3\ln\lvert x\rvert,\quad \int (-x^{-2})\,dx = x^{-1}.
Somando tudo,
\frac{x^{2}}{2} - 3x + 3\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{x} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2} - 3x + 3\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{x} + C

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