Calcule as seguintes integrais:
d) \int \operatorname{sen}^{2} 2 \theta \cos 2 \theta d \theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^{2}(2\theta)\,\cos(2\theta)\,d\theta.
O conteúdo principal aqui é usar substituição (mudança de variável) em integrais de funções trigonométricas. Vamos escolher uma substituição que simplifique a parte \sin^{2}(2\theta) junto com \cos(2\theta)\,d\theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin(2\theta).
Então, derivando ambos os lados em relação a \theta, temos
\frac{du}{d\theta} = 2\cos(2\theta) \quad\Longrightarrow\quad du = 2\cos(2\theta)\,d\theta.

Passo 3

Isolamos \cos(2\theta)\,d\theta em função de du:
\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral original:
\int \sin^{2}(2\theta)\,\cos(2\theta)\,d\theta = \int u^{2}\,\Bigl(\frac{1}{2}\,du\Bigr) = \frac{1}{2}\int u^{2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{1}{2}\int u^{2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3}}{3} + C = \frac{u^{3}}{6} + C.

Passo 5

Voltamos à variável original, lembrando que u = \sin(2\theta):
\frac{u^{3}}{6} + C = \frac{\sin^{3}(2\theta)}{6} + C.

Resposta

\int \sin^{2}(2\theta)\,\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{\sin^{3}(2\theta)}{6} + C.

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