Encontre a transformada inversa de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de
. Isso está relacionado ao estudo das Transformadas de Laplace, que são ferramentas usadas para resolver equações diferenciais transformando-as no domínio dos números complexos.
Passo 2
Primeiro, pra achar a transformada inversa, a gente vai precisar decompor essa fração em partes mais simples, usando o método de frações parciais. Isso facilita na hora de aplicar a transformada inversa, pois cada termo vai corresponder a uma função conhecida.
Passo 3
Vamos supor que
pode ser escrita como:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum
, temos:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação para encontrar
,
e
.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar
. Escolhemos
(porque
):
Passo 6
Agora, para encontrar
, escolhemos
(porque
):
Passo 7
Por último, para
, escolhemos
(porque
):
Passo 8
Agora que temos
,
e
, podemos reescrever
:
Passo 9
Vamos simplificar o último termo:
Então,
fica:
Passo 10
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo. Sabemos que:
Aplicando isso a cada fração:
Resposta
Assim, a transformada inversa de
é: