Encontre a transformada inversa de cada uma das seguintes funções: G(s)=(86 s-78)/((s+3)(s-4)(5 s-1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de . Isso está relacionado ao estudo das Transformadas de Laplace, que são ferramentas usadas para resolver equações diferenciais transformando-as no domínio dos números complexos.

Passo 2

Primeiro, pra achar a transformada inversa, a gente vai precisar decompor essa fração em partes mais simples, usando o método de frações parciais. Isso facilita na hora de aplicar a transformada inversa, pois cada termo vai corresponder a uma função conhecida.

Passo 3

Vamos supor que pode ser escrita como:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum , temos:
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação para encontrar , e .

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar . Escolhemos (porque ):

Passo 6

Agora, para encontrar , escolhemos (porque ):

Passo 7

Por último, para , escolhemos (porque ):

Passo 8

Agora que temos , e , podemos reescrever :

Passo 9

Vamos simplificar o último termo:
Então, fica:

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo. Sabemos que:
Aplicando isso a cada fração:

Resposta

Assim, a transformada inversa de é:

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