Calcule as seguintes integrais:
Calcule a integral dupla
Dica: Nota de aula Integrais Múltiplas - Regiões Gerais(Exemplo 1.7)
Calcule a integral dupla
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra calcular
Isso é da parte de integrais múltiplas, mais especificamente “mudança de ordem de integração”. A ideia é entender a região de integração e trocar a ordem pra deixar a integral mais fácil.
Passo 2
Vamos desenhar mentalmente a região D:
– Pela condição com
, a curva
equivale a
.
– Isso significa que D é o conjunto de pontos com e, pra cada y,
.
Então podemos reescrever a integral trocando as integrais de ordem:
– Pela condição
– Isso significa que D é o conjunto de pontos com
Então podemos reescrever a integral trocando as integrais de ordem:
Passo 3
Agora integra em
primeiro. Como
é tratado como constante em relação a
, temos
Logo a integral dupla vira
Passo 4
Pra calcular
,
fazemos a substituição
fazemos a substituição
Quando
vai de 0 a 1,
vai de 0 a 1. Então