Calcule as seguintes integrais:
Calcule a integral dupla integral0^1 integralraizx^1 cos (y^3) d y d x
Dica: Nota de aula Integrais Múltiplas - Regiões Gerais(Exemplo 1.7)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular
integral0^1integralraizx^1cosl(y^3r),dy,dx
Isso é da parte de integrais múltiplas, mais especificamente “mudança de ordem de integração”. A ideia é entender a região de integração e trocar a ordem pra deixar a integral mais fácil.

Passo 2

Vamos desenhar mentalmente a região D:
– Pela condição raizx<= y<=1 com 0<= x<=1, a curva y=raizx equivale a x=y^2.
– Isso significa que D é o conjunto de pontos com 0<= y<=1 e, pra cada y, 0<= x<= y^2.
Então podemos reescrever a integral trocando as integrais de ordem:
integral0^1!integralraizx^1cosl(y^3r),dy,dx ;=; integraly=0^1!integralx=0^y^2cosl(y^3r),dx,dy

Passo 3

Agora integra em x primeiro. Como cos(y^3) é tratado como constante em relação a x, temos
integralx=0^y^2cosl(y^3r),dx =cosl(y^3r),l[xr]0^y^2 =y^2,cosl(y^3r)
Logo a integral dupla vira
integral0^1y^2cosl(y^3r),dy

Passo 4

Pra calcular
integral0^1y^2cosl(y^3r),dy,
fazemos a substituição
u=y^3 Longrightarrow du=3,y^2,dy Longrightarrow y^2,dy=du3
Quando y vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Então
integral0^1y^2cos(y^3),dy =13integral0^1cos(u),du =13l[sin(u)r]0^1 =sin(1)3

Resposta

sin(1)3

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