Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais definidas:
c) \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{cotg} \theta d \theta.

Passo 1

O enunciado pede a integral definida de \operatorname{cotg}\theta entre \theta=\frac{\pi}{6} e \theta=\frac{\pi}{3}. O conteúdo é cálculo de primitiva de função trigonométrica, usando a definição
\operatorname{cotg}\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}.

Passo 2

Para encontrar a primitiva de \operatorname{cotg}\theta, escrevemos
\int \operatorname{cotg}\theta\,d\theta = \int \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\,d\theta.
Fazendo a substituição u = \sin\theta, temos du = \cos\theta\,d\theta, então
\int \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\,d\theta = \int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C = \ln\bigl|\sin\theta\bigr| + C.

Passo 3

Aplicando o resultado na integral de \frac{\pi}{6} até \frac{\pi}{3}, obtemos
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{cotg}\theta\,d\theta = \Bigl[\ln\bigl|\sin\theta\bigr|\Bigr]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \ln\bigl|\sin\frac{\pi}{3}\bigr| - \ln\bigl|\sin\frac{\pi}{6}\bigr|.
Sabendo que \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} e \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, vem

Passo 4

\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) - \ln\!\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}\Bigr) = \ln\!\bigl(\sqrt{3}\bigr) = \tfrac{1}{2}\ln 3.

Resposta

\frac{1}{2}\ln 3

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