Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais definidas:
a) \int_{0}^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} t \cos t^{2} d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} t\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
O conteúdo aqui é o método de substituição, já que vemos t multiplicando uma função de t^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = t^{2}, \qquad du = 2t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,dt = \frac{du}{2}.
Quando t=0, temos u=0.
Quando t=\frac{\sqrt{\pi}}{2}, temos
u=\Bigl(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\Bigr)^{2}=\frac{\pi}{4}.
Assim a integral vira
\int_{0}^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} t\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(u)\,du.

Passo 3

Agora integramos \cos(u):
\int\cos(u)\,du = \sin(u).
Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(u)\,du =\frac{1}{2}\Bigl[\sin(u)\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =\frac{1}{2}\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{4})-\sin(0)\bigr).

Passo 4

Calculando os valores das funções trigonométricas: \sin(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(0)=0.
Logo
\frac{1}{2}\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-0\bigr) =\frac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\int_{0}^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} t\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt =\frac{\sqrt{2}}{4}.

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