Calcule as seguintes integrais:
Use as seguintes fórmulas dadas para calcular as integrais a seguir.
f) \int \frac{1}{e^{x} \sqrt{1-e^{-2 x}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{e^{x}\sqrt{1-e^{-2x}}}\,dx,
que exige aplicar a técnica de substituição e a fórmula padrão
\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}} = \arcsin(u) + C.

Passo 2

Reescrevendo o integrando, observamos que
\frac{1}{e^{x}} = e^{-x},
portanto a integral fica
\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1 - e^{-2x}}}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = e^{-x}.
Diferenciando, vem
du = -e^{-x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{-x}\,dx = -\,du.

Passo 4

Substituindo em termos de u, obtemos
\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1 - e^{-2x}}}\,dx = \int \frac{-\,du}{\sqrt{1 - u^{2}}} = -\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}}
e, pela fórmula do arco-seno, isso é
-\arcsin(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável original x (ou seja, u=e^{-x}), a antiderivada final é
-\arcsin\bigl(e^{-x}\bigr) + C.

Resposta

-\arcsin\bigl(e^{-x}\bigr) + C.

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