Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais definidas:
b) \int_{0}^{6} x \sqrt{36-x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{6} x \sqrt{36 - x^{2}} \, dx.
Esse tipo de integral envolve o produto de x por \sqrt{a^{2}-x^{2}}, e a estratégia mais direta é usar a substituição u = 36 - x^{2} para simplificar a raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 36 - x^{2}, \quad du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
Quando x=0, u=36; quando x=6, u=0. Substituindo na integral original:
\int_{0}^{6} x \sqrt{36 - x^{2}} \, dx = \int_{36}^{0} \sqrt{u}\;\Bigl(-\tfrac{1}{2}\,du\Bigr).

Passo 3

Invertemos os limites para eliminar o sinal negativo e tiramos o fator constante:
\int_{36}^{0} -\tfrac{1}{2}\,u^{1/2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{36} u^{1/2}\,du.
Agora usamos a regra de potência para integrar u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du = \tfrac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \tfrac{2}{3}\,u^{3/2}.
Logo,
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{36} u^{1/2}\,du = \tfrac{1}{2}\,\Bigl[\tfrac{2}{3}\,u^{3/2}\Bigr]_{0}^{36} = \tfrac{1}{3}\bigl[36^{3/2}-0\bigr].

Passo 4

Calculamos
36^{3/2} = \bigl(\sqrt{36}\bigr)^{3} = 6^{3} = 216.
Portanto o valor da integral é
\tfrac{1}{3}\times 216 = 72.

Resposta

72

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