Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais definidas:
d) \int_{0}^{4} \frac{x}{\left(9+x^{2}\right)^{3 / 2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{0}^{4}\frac{x}{\bigl(9+x^{2}\bigr)^{3/2}}\,dx.
O conteúdo principal é reconhecer que a derivada de (9+x^{2})^{-1/2} gera exatamente esse integrando, ou então usar a substituição u=9+x^2.

Passo 2

Vamos verificar a derivada de (9+x^{2})^{-1/2}:
\frac{d}{dx}\bigl(9+x^{2}\bigr)^{-1/2} = -\tfrac12\,\bigl(9+x^{2}\bigr)^{-3/2}\cdot 2x = -\frac{x}{\bigl(9+x^{2}\bigr)^{3/2}}.
Isso mostra que uma primitiva de \frac{x}{(9+x^{2})^{3/2}} é
-\,(9+x^{2})^{-1/2} + C.

Passo 3

Agora avaliamos essa primitiva nos limites de 0 a 4:
\int_{0}^{4}\frac{x}{(9+x^{2})^{3/2}}\,dx = \left[-\frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}\right]_{0}^{4} = \Bigl(-\tfrac{1}{5}\Bigr)\;-\;\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{15}

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