Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
i) \int \frac{x \cos \sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x \,\cos\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal é método de substituição em integrais. Vamos escolher uma substituição que simplifique o radical.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{1+x^{2}}.
Então u^{2}=1+x^{2} implica 2u\,du = 2x\,dx, ou seja
x\,dx = u\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u:
\int \frac{x \,\cos(u)}{u}\,dx =\int \cos(u)\,\frac{x\,dx}{u} =\int \cos(u)\,\frac{u\,du}{u} =\int \cos(u)\,du.
Agora integramos diretamente:
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u = \sqrt{1+x^{2}}. Logo a primitiva é
\sin\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{x \,\cos\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx =\sin\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr) + C.

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