Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
g) \int t(1-t)^{3 / 2} d t.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int t(1-t)^{3/2}\,dt.
Vamos usar o método de substituição para simplificar o fator (1-t).

Passo 2

Fazendo u = 1 - t temos du = -\,dt e t = 1 - u. Assim,
\int t(1-t)^{3/2}\,dt = \int (1 - u)\,u^{3/2}(-du)
e isso se reorganiza em
\int \bigl(u^{5/2} - u^{3/2}\bigr)\,du.

Passo 3

Integramos cada termo separadamente:
\int u^{5/2}\,du = \frac{2}{7}\,u^{7/2}
\int u^{3/2}\,du = \frac{2}{5}\,u^{5/2}
Logo,
\int \bigl(u^{5/2} - u^{3/2}\bigr)\,du = \frac{2}{7}\,u^{7/2} \;-\; \frac{2}{5}\,u^{5/2} + C.

Passo 4

Voltando à variável t com u = 1 - t, obtemos
\frac{2}{7}\,(1 - t)^{7/2} \;-\; \frac{2}{5}\,(1 - t)^{5/2} + C.

Resposta

\frac{2}{7}(1-t)^{7/2} \;-\; \frac{2}{5}(1-t)^{5/2} + C

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