Calcule as seguintes integrais:
e) \int x^{2}\left(1-x^{3}\right)^{5} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}\bigl(1 - x^{3}\bigr)^{5}\,dx
Esse é um caso clássico de substituição simples em que identificamos uma função composta \bigl(1 - x^{3}\bigr) elevada a uma potência e seu derivado proporcional a x^{2}\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 - x^{3}.
Então
du = -3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = -\frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int x^{2}\bigl(1 - x^{3}\bigr)^{5}\,dx = \int u^{5}\,\bigl(-\tfrac{1}{3}\,du\bigr) = -\frac{1}{3}\int u^{5}\,du.
Agora integramos em u:
-\frac{1}{3}\int u^{5}\,du = -\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{6}}{6} = -\frac{u^{6}}{18}.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = 1 - x^{3}:
-\frac{u^{6}}{18} + C = -\frac{\bigl(1 - x^{3}\bigr)^{6}}{18} + C.

Resposta

-\frac{\bigl(1 - x^{3}\bigr)^{6}}{18} + C

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