Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
c) \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x+1}{\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)^{2}}\,dx
O conteúdo aqui é usar substituição, observando que a derivada de x^{2}+2x+2 é proporcional a x+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 2x + 2, \quad du = \bigl(2x + 2\bigr)\,dx = 2\,(x+1)\,dx
Logo
(x+1)\,dx = \frac{1}{2}\,du
e a integral vira
\int \frac{x+1}{(x^{2}+2x+2)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\;\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = x^{2}+2x+2:
-\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)} + C.

Resposta

\int \frac{x+1}{\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)^{2}}\,dx = -\frac{1}{2\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)} + C.

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