Exercício 2.
No caso de \int\left(x^{3}+1\right)^{4} x^{2} d x, fazemos u=x^{3}+1, donde temos d u= 3 x^{2} d x. Assim,
\begin{aligned} \int\left(x^{3}+1\right)^{4} x^{2} d x & =\frac{1}{3} \int\left(x^{3}+1\right)^{4} 3 x^{2} d x \\\ & =\frac{1}{3} \int u^{4} d u \\\ & =\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5}+C \\\ & =\frac{1}{15}\left(x^{3}+1\right)^{5}+C \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int (x^{3}+1)^{4}\,x^{2}\,dx,
usando o método de substituição (u-substituição), que é útil quando enxergamos uma função dentro de outra e o seu derivado aparece multiplicando.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{3} + 1.
Diferenciando, temos
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral, fica
\int (x^{3}+1)^{4}\,x^{2}\,dx = \int u^{4}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{4}\,du.
Sabendo que
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5},
obtemos
\frac{1}{3}\int u^{4}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{5}}{5} = \frac{u^{5}}{15}.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = x^{3}+1 e adicionamos a constante de integração C:
\frac{u^{5}}{15} + C = \frac{(x^{3}+1)^{5}}{15} + C.

Resposta

\frac{1}{15}\,(x^{3}+1)^{5} + C

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