Calcule as seguintes integrais:
Considere a função
. Calcule o volume do sólido limitado por
sobre as seguintes regiões:
no plano
Considere a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido limitado pela função
sobre a região
no plano
. Isso envolve usar integrais duplas, que são uma maneira de somar infinitesimais de volume sobre uma área específica. Para isso, vamos precisar configurar e resolver uma integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar
sobre a região
. A integral dupla para o volume
é dada por:
Aqui, estamos integrando
primeiro em relação a
de 0 a 2, e depois em relação a
de 1 a 2. Essa ordem de integração é escolhida com base nos limites da região
.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Como
é tratado como uma constante em relação a
, podemos levar
para fora da integral:
Agora, integramos
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado
em relação a
de 1 a 2:
Integrando
em relação a
:
Resposta
O volume do sólido limitado pela função
sobre a região
é 6 unidades cúbicas.