Calcule as seguintes integrais:
Considere a função f(x, y)=2 y x. Calcule o volume do sólido limitado por f(x, y) sobre as seguintes regiões:
R=[1,2] times[0,2] no plano x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido limitado pela função f(x, y) = 2yx sobre a região R = [1,2] times [0,2] no plano xy . Isso envolve usar integrais duplas, que são uma maneira de somar infinitesimais de volume sobre uma área específica. Para isso, vamos precisar configurar e resolver uma integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar f(x, y) sobre a região R . A integral dupla para o volume V é dada por:
V = integralx=1^2 integraly=0^2 2yx , dy , dx
Aqui, estamos integrando 2yx primeiro em relação a y de 0 a 2, e depois em relação a x de 1 a 2. Essa ordem de integração é escolhida com base nos limites da região R .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y :
integral0^2 2yx , dy
Como x é tratado como uma constante em relação a y , podemos levar x para fora da integral:
2x integral0^2 y , dy
Agora, integramos y em relação a y :
2x [ y^22 ]0^2 = 2x ( 2^22 - 0^22 ) = 2x (2) = 4x

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado 4x em relação a x de 1 a 2:
V = integral1^2 4x , dx
Integrando 4x em relação a x :
4 integral1^2 x , dx = 4 [ x^22 ]1^2 = 4 ( 2^22 - 1^22 ) = 4 ( 42 - 12 ) = 4 ( 32 ) = 6

Resposta

O volume do sólido limitado pela função f(x, y) = 2yx sobre a região R = [1,2] times [0,2] é 6 unidades cúbicas.

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