Calcule as seguintes integrais:
Considere a função f(x, y)=2 y x. Calcule o volume do sólido limitado por f(x, y) sobre as seguintes regiões:
D subseteq R^2, onde D é limitada por g(x)=x^2 e h(x)=x.

Passo 1

O enunciado diz: temos a função f(x,y)=2xy e queremos achar o volume do sólido que fica debaixo dessa superfície e acima da região D no plano, onde D é limitada pelas curvas y=x^2 e y=x. Isso é cálculo de integrais duplas para volume. Vamos precisar entender o formato da região, montar a integral dupla e resolvê-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, a gente encontra onde as curvas se cruzam:
x^2 = x ;Longrightarrow; x(x-1)=0 ;Longrightarrow; x=0 ou x=1
Logo, a região D é
(x,y)mid 0 <= x <= 1,; x^2 <= y <= x
Assim a gente já sabe os limites de integração: x vai de 0 a 1, e para cada x, y vai de x^2 até x.

Passo 3

O volume é dado por
V ;=;integral duplaD f(x,y),dA ;=; integralx=0^1!integraly=x^2^x2xy;dy;dx
Aqui a gente integrou em y primeiro e depois em x.

Passo 4

Calculemos a integral interna em y:
integraly=x^2^x2xy,dy =2xintegralx^2^xy,dy =2x[tfracy^22]x^2^x =2x(tfracx^22-tfracx^42) =x(x^2 - x^4) =x^3 - x^5
Explicando: tiramos 2x para fora (é constante em relação a y) e usamos integral y,dy = y^2/2.

Passo 5

Agora fica
V = integral0^1(x^3 - x^5),dx =[tfracx^44 - tfracx^66]0^1 =tfrac14 - tfrac16 =tfrac112

Resposta

O volume do sólido é 112.

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