Calcule as seguintes integrais:
Considere a função
. Calcule o volume do sólido limitado por
sobre as seguintes regiões:
, onde
é limitada por
e
.
Considere a função
Passo 1
O enunciado diz: temos a função
e queremos achar o volume do sólido que fica debaixo dessa superfície e acima da região
no plano, onde
é limitada pelas curvas
e
. Isso é cálculo de integrais duplas para volume. Vamos precisar entender o formato da região, montar a integral dupla e resolvê-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, a gente encontra onde as curvas se cruzam:
Logo, a região
é
Assim a gente já sabe os limites de integração:
vai de 0 a 1, e para cada
,
vai de
até
.
Passo 3
O volume é dado por
Aqui a gente integrou em
primeiro e depois em
.
Passo 4
Calculemos a integral interna em
:
Explicando: tiramos
para fora (é constante em relação a
) e usamos
.
Passo 5
Agora fica
Resposta
O volume do sólido é
.