Use as regras de derivação para derivar cada função.
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2}-4 x+8}

Passo 1

Aqui a gente tem a função f(x)=dfracraizx2x^2-4x+8. O conteúdo é derivação de quociente e vamos precisar das regras: regra do quociente, regra da cadeia (para raizx=x^1/2) e regra do polinômio.

Passo 2

Vamos definir u(x)=raizx=x^1/2 e v(x)=2x^2-4x+8. Assim, usaremos a regra do quociente: (u/v)'=(u'v - uv')/v^2

Passo 3

Derivando cada parte: pela regra do expoente temos u'(x)=12x^-1/2=12raizx E derivando o polinômio: v'(x)=4x-4

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:

Passo 5

f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 = 12raizx(2x^2-4x+8)-raizx(4x-4)(2x^2-4x+8)^2

Passo 6

Por fim, vamos simplificar o numerador com denominador comum 2raizx:

Passo 7

2x^2-4x+82raizx - 8x(x-1)2raizx = -6x^2+4x+82raizx

Passo 8

Logo

Passo 9

f'(x)=-6x^2+4x+82raizx,(2x^2-4x+8)^2 = -3x^2-2x-4raizx,(2x^2-4x+8)^2

Resposta

f'(x)=-dfrac3x^2-2x-4raizx,(2x^2-4x+8)^2

Exercícios relacionados