Calcule os seguintes integrais de contorno, utilizando teorema de resíduos
ointGamma^+ (e^z-1) d zz(z^2+1), Gamma:|z+i|=32

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno
ointGamma^+ e^z - 1z(z^2 + 1) , dz
usando o Teorema dos Resíduos. Primeiro, vamos identificar quais matérias vamos mexer aqui: teoria de resíduos e integrais de contorno no plano complexo. Precisaremos encontrar os “polos” da função e ver quais estão dentro do caminho Gamma, que é o círculo |z + i| = 32.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função e^z - 1z(z^2 + 1). Os polos são os valores de z que fazem o denominador igual a zero. Então, resolvendo z(z^2 + 1) = 0:
  • z = 0
  • z^2 + 1 = 0 Rightarrow z = i ou z = -i
Então, nossos polos são z = 0, z = i e z = -i.

Passo 3

Agora, precisamos ver quais desses polos estão dentro do contorno Gamma: |z + i| = 32. Esse é um círculo centrado em -i com raio 32.
  • Para z = 0:
|0 + i| = 1 < 32 Rightarrow z = 0 está dentro á
  • Para z = i:
|i + i| = |2i| = 2 > 32 Rightarrow z = i está fora á
  • Para z = -i:
|-i + i| = 0 < 32 Rightarrow z = -i está dentro á
Então, os polos dentro de Gamma são z = 0 e z = -i.

Passo 4

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno. Então, precisamos calcular Res(f, 0) e Res(f, -i), onde f(z) = e^z - 1z(z^2 + 1).

Passo 5

Vamos calcular Res(f, 0):
Como z = 0 é um polo simples, o resíduo é:
Res(f, 0) = limz to 0 z cdot e^z - 1z(z^2 + 1) = limz to 0 e^z - 1z^2 + 1
Sabemos que limz to 0 e^z - 1z = 1, então:
Res(f, 0) = 10^2 + 1 = 1

Passo 6

Agora, vamos calcular Res(f, -i):
Também é um polo simples, então:
Res(f, -i) = limz to -i (z + i) cdot e^z - 1z(z^2 + 1)
Simplificando o denominador:
z^2 + 1 = (z - i)(z + i)
Então:
Res(f, -i) = limz to -i e^z - 1z(z - i) = e^-i - 1-i(-i - i) = e^-i - 1-i(-2i) = e^-i - 12
Calculando e^-i:
e^-i = cos(-1) + isin(-1) = cos(1) - isin(1)
Então:
Res(f, -i) = cos(1) - isin(1) - 12 = cos(1) - 12 - isin(1)2

Passo 7

Agora, somamos os resíduos:
Res(f, 0) + Res(f, -i) = 1 + ( cos(1) - 12 - isin(1)2 ) = 2 + cos(1) - 12 - isin(1)2 = 1 + cos(1)2 - isin(1)2

Passo 8

Finalmente, aplicamos o Teorema dos Resíduos:
ointGamma^+ e^z - 1z(z^2 + 1) , dz = 2pi i ( 1 + cos(1)2 - isin(1)2 ) = pi i (1 + cos(1)) - pi sin(1)

Resposta

A integral vale
pi i (1 + cos(1)) - pi sin(1)

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