Calcule os seguintes integrais de contorno, utilizando teorema de resíduos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno
usando o Teorema dos Resíduos. Primeiro, vamos identificar quais matérias vamos mexer aqui: teoria de resíduos e integrais de contorno no plano complexo. Precisaremos encontrar os “polos” da função e ver quais estão dentro do caminho
, que é o círculo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos da função
. Os polos são os valores de
que fazem o denominador igual a zero. Então, resolvendo
:
-
-
ou
Então, nossos polos são
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos ver quais desses polos estão dentro do contorno
. Esse é um círculo centrado em
com raio
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, os polos dentro de
são
e
.
Passo 4
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a
vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno. Então, precisamos calcular
e
, onde
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Como
é um polo simples, o resíduo é:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Também é um polo simples, então:
Simplificando o denominador:
Então:
Calculando
:
Então:
Passo 7
Agora, somamos os resíduos:
Passo 8
Finalmente, aplicamos o Teorema dos Resíduos:
Resposta
A integral vale