Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral de linha pelo teorema de Green. Verifique, então, o resultado pelo método da Seç̧ão 19.2.
ointc x^2 y cdot d x-y^2 x d y, onde C é a circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointC x^2y,dx ;-; y^2x,dy
onde C é a circunferência x^2+y^2=1. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre o disco unitário D, e depois verificar o resultado por parametrização (método da Seção 19.2).

Passo 2

No Teorema de Green, escrevemos
P(x,y)=x^2y, Q(x,y)=-,y^2x,
e temos
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial x(-y^2x) =-y^2, partial Ppartial y =partialpartial y(x^2y) =x^2
Logo o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y =-y^2-x^2 =-(x^2+y^2)

Passo 3

Para calcular
integral duplaD-(x^2+y^2),dA
usamos coordenadas polares ,(x,y)=(rcostheta,rsintheta), com 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi. Então x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta. A integral fica
integral duplaD-(x^2+y^2),dA =integral0^2pi!!integral0^1 -,r^2cdot r,dr,dtheta =-integral0^2pi!dthetaintegral0^1r^3,dr =-2picdot14 =-pi2

Passo 4

Agora verificamos por parametrização: sobre C tomamos
r(t)=(cos t,sin t), 0<= t<=2pi,
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dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt
Substituindo na integral de linha,
x^2y,dx - y^2x,dy = (cos^2tsin t)(-,sin t,dt);-;(sin^2tcos t)(cos t,dt) =-2,cos^2tsin^2t,dt
Então
ointCx^2y,dx - y^2x,dy =integral0^2pi-2cos^2tsin^2t,dt

Passo 5

Usamos a identidade sin^2tcos^2t=tfrac14sin^2(2t). Assim
integral0^2pi-2cos^2tsin^2t,dt =-12integral0^2pisin^2(2t),dt =-12cdotpi =-pi2,
pois integral0^2pisin^2(2t),dt=pi. Confirma-se o resultado obtido com Green.

Resposta

-pi2

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