Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral de linha pelo teorema de Green. Verifique, então, o resultado pelo método da Seç̧ão 19.2.
, onde
é a circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a circunferência
. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre o disco unitário
, e depois verificar o resultado por parametrização (método da Seção 19.2).
Passo 2
No Teorema de Green, escrevemos
e temos
Calculando as derivadas parciais:
Logo o integrando fica
Passo 3
Para calcular
usamos coordenadas polares
, com
,
. Então
e
. A integral fica
Passo 4
Agora verificamos por parametrização: sobre
tomamos
logo
Substituindo na integral de linha,
Então
Passo 5
Usamos a identidade
. Assim
pois
. Confirma-se o resultado obtido com Green.